#### 二次型與雙線性形式

二次型是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它表示一個(gè)多項(xiàng)式中未知數(shù)的個(gè)數(shù)可以任意多，但每一項(xiàng)的次數(shù)都為2。二次型起源于幾何學(xué)中二次曲線方程和二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題的研究，與域的特征有關(guān)。

雙線性形式B的核由正交于V的所有元素組成，而二次形式Q的核由B的核中的有Q(u)=0的所有元素u組成。如果2是可逆的，則Q和它的相伴雙線性形式B有同樣的核。

雙線性形式B被稱為非奇異的，如果它的核是0；二次形式Q被稱為非奇異的，如果它的核是0。非奇異二次形式Q的正交群是保持二次形式Q的V的自同構(gòu)的群。

二次形式Q被稱為迷向的，如果有V中的非零的v使得Q(v)=0。否則它稱為非迷向的。二次空間的一個(gè)向量或子空間也可以被稱為迷向的。如果Q(V)=0則Q被稱為完全奇異的。

#### 行列式與矩陣的關(guān)系

在數(shù)學(xué)中，一個(gè)n階矩陣A的行列式值|A|是一個(gè)由A的所有元素構(gòu)成的n階方陣的行列式值。如果|A|≠0，則稱A為非奇異矩陣或可逆矩陣，此時(shí)存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=I，其中I是n階單位矩陣。

如果行列式的值不全為0，那么該矩陣至少有一個(gè)元素不為0，即矩陣不是全部元素都為0的矩陣。這意味著該矩陣是可逆的，即存在一個(gè)逆矩陣，可以用來(lái)求解線性方程組。

舉例：考慮一個(gè)2x2矩陣A=[acbd]，其行列式值為ad?bc。如果ad?bc≠0，則A是可逆的。根據(jù)行列式展開定理，我們可以將A展開為一個(gè)下三角矩陣或上三角矩陣。

行列式的值不全為0就一定可以展開的原因是：如果行列式的值不全為0，那么該矩陣是非奇異矩陣或可逆矩陣，存在一個(gè)逆矩陣可以用來(lái)求解線性方程組。通過(guò)行列式展開定理，我們可以將原矩陣展開為一個(gè)下三角矩陣或上三角矩陣，進(jìn)一步求解相關(guān)問(wèn)題。

#### 矩陣的逆與行列式的關(guān)系

若n階行列式|αij|中某行(或列)，行列式則|αij|是兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的第i行(或列)，一個(gè)是b1，b2，…，bn；另一個(gè)是с1，с2，…，сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

矩陣的逆的行列式等于原矩陣的行列式的倒數(shù)。假設(shè)A是一個(gè)可逆矩陣，其逆表示為A?1。對(duì)于任意一個(gè)n階矩陣A，其行列式記作det(A)。那么有以下關(guān)系：det(A?1)=1/det(A)。

需要注意的是，如果原矩陣的行列式為零(即det(A)=0)，則該矩陣不可逆，其逆矩陣不存在。逆矩陣的行列式必須非零才能存在。

#### 總結(jié)

一個(gè)矩陣的行列式不為零，那么這個(gè)矩陣就是可逆的；此時(shí)它的逆矩陣的行列式是原矩陣的行列式的倒數(shù)。反之，如果一個(gè)矩陣不可逆（即行列式為零），那么它的逆矩陣不存在。在實(shí)際計(jì)算中，我們并不會(huì)先求出矩陣的行列式，然后再求出它的逆矩陣，而是直接求出逆矩陣。這是因?yàn)榍缶仃嚨哪姹惹笮辛惺揭菀椎枚唷?/p>