#### 二次型與雙線性形式

二次型是數學中的一個重要概念，它表示一個多項式中未知數的個數可以任意多，但每一項的次數都為2。二次型起源于幾何學中二次曲線方程和二次曲面方程化為標準形問題的研究，與域的特征有關。

雙線性形式B的核由正交于V的所有元素組成，而二次形式Q的核由B的核中的有Q(u)=0的所有元素u組成。如果2是可逆的，則Q和它的相伴雙線性形式B有同樣的核。

雙線性形式B被稱為非奇異的，如果它的核是0；二次形式Q被稱為非奇異的，如果它的核是0。非奇異二次形式Q的正交群是保持二次形式Q的V的自同構的群。

二次形式Q被稱為迷向的，如果有V中的非零的v使得Q(v)=0。否則它稱為非迷向的。二次空間的一個向量或子空間也可以被稱為迷向的。如果Q(V)=0則Q被稱為完全奇異的。

#### 行列式與矩陣的關系

在數學中，一個n階矩陣A的行列式值|A|是一個由A的所有元素構成的n階方陣的行列式值。如果|A|≠0，則稱A為非奇異矩陣或可逆矩陣，此時存在一個n階方陣B，使得AB=BA=I，其中I是n階單位矩陣。

如果行列式的值不全為0，那么該矩陣至少有一個元素不為0，即矩陣不是全部元素都為0的矩陣。這意味著該矩陣是可逆的，即存在一個逆矩陣，可以用來求解線性方程組。

舉例：考慮一個2x2矩陣A=[acbd]，其行列式值為ad?bc。如果ad?bc≠0，則A是可逆的。根據行列式展開定理，我們可以將A展開為一個下三角矩陣或上三角矩陣。

行列式的值不全為0就一定可以展開的原因是：如果行列式的值不全為0，那么該矩陣是非奇異矩陣或可逆矩陣，存在一個逆矩陣可以用來求解線性方程組。通過行列式展開定理，我們可以將原矩陣展開為一個下三角矩陣或上三角矩陣，進一步求解相關問題。

#### 矩陣的逆與行列式的關系

若n階行列式|αij|中某行(或列)，行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列)，一個是b1，b2，…，bn；另一個是с1，с2，…，сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

矩陣的逆的行列式等于原矩陣的行列式的倒數。假設A是一個可逆矩陣，其逆表示為A?1。對于任意一個n階矩陣A，其行列式記作det(A)。那么有以下關系：det(A?1)=1/det(A)。

需要注意的是，如果原矩陣的行列式為零(即det(A)=0)，則該矩陣不可逆，其逆矩陣不存在。逆矩陣的行列式必須非零才能存在。

#### 總結

一個矩陣的行列式不為零，那么這個矩陣就是可逆的；此時它的逆矩陣的行列式是原矩陣的行列式的倒數。反之，如果一個矩陣不可逆（即行列式為零），那么它的逆矩陣不存在。在實際計算中，我們并不會先求出矩陣的行列式，然后再求出它的逆矩陣，而是直接求出逆矩陣。這是因為求矩陣的逆比求行列式要容易得多。