在求解微分方程時，特征方程是一個關(guān)鍵步驟，對于二階常系數(shù)齊次線性微分方程 ( y'' + py' + qy = 0 )，( p ) 和 ( q ) 為常數(shù)，其對應(yīng)的特征方程可表示為 ( lambda^2 + plambda + q = 0 )。

求解特征方程通常有兩種方法：算子法和多項式法，算子法涉及將微分方程中的導(dǎo)數(shù)用算子表示，然后通過算子的作用求解；而多項式法則是直接對特征方程進行因式分解或使用求根公式求解。

以下是如何求解特征方程的詳細步驟：

1、使用算子法或多項式法求解特征方程：將微分方程的解設(shè)為 ( y = e^{rx} )，代入原方程得到關(guān)于 ( r ) 的多項式方程，即特征方程，此方程的根 ( r ) 提供了微分方程所有可能的解的信息。

2、根據(jù)特征方程的根的類型確定通解形式：

- 若特征方程有兩個不相等的實根 ( r_1 ) 和 ( r_2 )，則微分方程的通解為 ( y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} )。

- 若特征方程有兩個相等的實根 ( r_1 = r_2 )，則通解為 ( y = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x} )。

- 若特征方程具有共軛復(fù)根 ( lpha pm eta i )，則通解為 ( y = e^{lpha x} (C_1 cos(eta x) + C_2 sin(eta x)) )。

3、求解特征方程：假設(shè)特征方程為 ( r^2 + P(x)r + Q(x) = 0 )，解出兩個特征根 ( r_1 ) 和 ( r_2 )，根據(jù)根的類型，寫出微分方程的通解。

對于微分方程 ( y'' - 4y' + 3y = 0 )，首先求出特征方程 ( r^2 - 4r + 3 = 0 ) 的根，解得 ( r_1 = 3 ) 和 ( r_2 = 1 )，該微分方程的通解為 ( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^x )。

通過以上步驟，我們可以求解微分方程的特征方程和通解。