微分方程(1)-基本概念及分類

微分方程是涉及未知函數及其導數的數學方程，若未知函數為y，則dy/dx = x^2，dy/dt + y = t，d^2y/dx^2 + y = 0，d^3y/dx^3 - dy/dx + y = 0等都是關于函數y的微分方程，常微分方程（ODE）是指只含有一個獨立變量的微分方程。

本文將介紹以下內容：微分方程的基本概念與分類、一階微分方程的解析、高階微分方程的探討、線性微分方程組的深入研究、微分方程在實際問題中的應用，以及差分方程的基本概念。

求解微分方程需要掌握的數學基礎包括導數和微分：導數描述了函數在某一點的瞬時變化率，而微分則是函數在該點的局部線性近似，積分則是導數的逆運算，它將函數在一個區間內的微小變化累積起來，以得到整個區間上的總變化。

在開始學習微分方程之前，建議先鞏固微積分、線性代數等數學基礎，熟悉微分方程的分類、奇偶性、特殊的一階和二階微分方程、高階微分方程等理論知識，并學習如常數變易法、特征方程法等解題技巧。

本書作為高等院校本科階段微分方程雙語教學的重要教材，深入淺出地分為六個章節，首章引領讀者理解微分方程模型的基本概念，并對一階常微分方程進行詳細討論，包括顯式與隱式解法。

一階線性方程是常微分方程的一種，通常采用常數變易法求解，齊次微分方程可以通過比值代換或平移變換簡化，而伯努利方程則通過特定變換轉化為一階線性微分方程，黎卡提方程雖然難以直接積分，但在已知一個特解的情況下，可以通過變換轉化為伯努利方程求解。

微分方程的可分離變量方程

可分離變量的微分方程的求解方法是將方程中的變量分離，即形如g(y)dy=f(x)dx的形式，對等式兩邊進行積分，得到通解：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C，這種形式的方程稱為可分離變量微分方程，其特點是方程的變量可以完全分離開。

求解步驟如下：（1）將方程分離變量得到：g(y)dy=f(x)dx。（2）對等式兩邊進行積分，得到通解：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C，對于一階微分方程dy/dx=F(x)G(y)，可以通過分離變量和積分得到通解。

若一階微分方程y=f(x，y)可以寫成dy/dx=p(x)q(y)的形式，則稱之為可分離變量方程，通過分離變量和兩邊積分，即可得到通解，對于齊次方程，則可以通過代換轉化為可分離變量方程。

什么時候偏微分方程是可以分離變量的。

對于二階偏微分方程，如果其形式合適，使得分離變量后得到的方程為S-L型方程，并且滿足三類邊界條件或周期條件，那么其解可以以分離變量的形式表示，這意味著，如果方程和定解條件滿足這些條件，那么可以使用分離變量法求解。

分離變量法適用于具有特定對稱性的偏微分方程，通過將變量分離，可以將原方程分解為多個只含一個變量的常微分方程，從而簡化問題，在求解二維波動方程時，可以采用分離變量法將其分解為兩個常微分方程。

分離變量法的關鍵在于將偏微分方程中的變量分離開來，得到一組常微分方程，然后利用線性疊加原理求解，我們關注齊次偏微分方程，并通過解本征值問題來確定特殊數值，這些數值是解的基礎。

分離變量法的適用范圍?

分離變量法的適用范圍取決于方程的形式和邊界條件，這與Sturm-Liouville（S-L）理論有關，S-L理論表明，在特定的邊界條件下，S-L型方程的本征值問題有解，本征值為實數且形成可數集。

分離變量法并非適用于所有方程，非線性方程和變量無法分離的方程就是兩個例子，它們不符合分離變量法的前提條件，方程中的變量必須能夠被分離，才能使用該方法。

分離變量法的基本步驟是：對方程進行變量分離，然后對兩邊進行積分求解，對于方程dy/dx = x^2，通過分離變量得到dy = x^2 dx，接著積分得到y = (1/3)x^3 + C，其中C是積分常數。

關于可分離變量微分方程的疑問

確實，在應用分離變量法解微分方程時，需要考慮g(y)=0的特殊情況，通解雖然包含任意常數C，但不一定包含g(y)=0的情況，這通常與通解的形式有關，有時這個解代入通解表達式可能無意義。

對于方程y=P(x)y，其中P(x)是x的連續函數，通過變形可以得到一致的解，在求微分方程的通解時，任意常數可以表示為某個具體常數與另一個任意常數之和，然后將具體常數與剩余部分結合，可以得到不同形式的解，但本質上是相同的。

如果g(y)是具體函數，則需要考慮它等于零的情況；如果g(y)不是具體函數，則不需要考慮它等于零的情況，在考慮y(0)=0和y=0時，要注意前者是x=0時y的值，用于解題的條件；后者是方程的一個解，二者不是同一個概念。

在處理sinx和siny等于零的情況時，可以按照以下步驟進行討論：當x=0或y=0時，代入原微分方程，顯然成立，x=0或y=0也是該微分方程的解。

當一個微分方程可以分離變量時，我們可以將其分解為兩個只依賴于單獨變量的方程，具體步驟是：假設有一個可分離變量的微分方程，形式為dy/dx = f(x)g(y)，按照上述步驟進行分離變量和積分求解。