#### 一、含義不同

\( fX(x) \) 表示隨機(jī)變量X的邊際密度函數(shù)，也稱為邊緣概率密度函數(shù)，描述了在多維隨機(jī)變量中某一個(gè)特定維度上的分布情況。

\( f(x) \) 則是常規(guī)意義上表示隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，用于描述單個(gè)隨機(jī)變量整體上的分布情況。

#### 二、性質(zhì)不同

\( fX(x) \) 是一個(gè)概率密度函數(shù)，具有非負(fù)性、歸一性和可積性等特點(diǎn)，用來計(jì)算在給定范圍內(nèi)觀測(cè)到某個(gè)值x的概率，且滿足對(duì)所有取值x的積分等于1。

\( f(x) \) 則沒有明確指出是否滿足這些屬性要求，在正常情況下不能保證其符合概率密度函數(shù)所需具備的條件。

#### 如果這兩個(gè)記號(hào)是各自分別出現(xiàn)的

那么沒有任何區(qū)別。也就是說，如果只是想記一個(gè)函數(shù)，給個(gè)名字，那么f(x)和F(x)都可以。f是英文function（函數(shù)）的首字母。

#### 如果這兩個(gè)記號(hào)是在一個(gè)式子或一段話中出現(xiàn)的

那么它們是不同的函數(shù)。也就是說，F(xiàn)(x)和f(x)可以代表完全不同的意思，例如f(x)=x^2，F(xiàn)(x)=sinx?；蛘逨(x)=f(f(x))=x^4，又或者F(x)=f(x)等等。

#### 在函數(shù)變換理論中

常把大小寫的函數(shù)作為一對(duì)出現(xiàn)，如g(x)經(jīng)過傅里葉變換變成G(x)，經(jīng)過傅里葉逆變換又變回去。g(x)和G(x)是完全不同的函數(shù)。

#### 示例

\( fx(x)=1 \) for \( 0

\( fx(x)=0 \) for 其他值

\( fY(y)=e^(-y) \) for \( y>0 \)

\( fY(y)=0 \) for 其他值

#### 卷積公式

\( fz(z)=\int fx(x)fy(z-x)dx \), 積分限為 \([-∽

因?yàn)?\( 0

\( fz(z)=\int fx(x)fy(z-x)dx \)

X=1，Y=e^(-y）

所以：Z=1+e^(-y）（y>0；0）

#### 擴(kuò)資料

對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x），如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有 \( F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt \), 則X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度。

單純的講概率密度沒有實(shí)際的意義，它必須有確定的有界區(qū)間為前提。

可以把概率密度看成是縱坐標(biāo)，區(qū)間看成是橫坐標(biāo)，概率密度對(duì)區(qū)間的積分就是面積，而這個(gè)面積就是 *** 在這個(gè)區(qū)間發(fā)生的概率，所有面積的和為1。

在一維連續(xù)型隨機(jī)變量中，f(x)表示隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。

#### 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

\( fX（x） \) 和 \( fY（y） \) 在“二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)”中出現(xiàn)。

\( fX（x） \) 是X的邊緣密度函數(shù)；\( fY（y） \) 是Y的邊緣密度函數(shù)。

#### 表示不同

X表示一個(gè)變量，x表示一個(gè)變量的值，F(xiàn)（X）表示一個(gè)函數(shù)的話，F(xiàn)（x）表示把X=x代入。