解：對于給定的等式 1/2ln(x^2+y^2)=arctany/x，我們對x進行求導。經過推導，我們得到：

y' = (x+y)/(x-y)。這意味著dy=(x+y)/(x-y)dx。

接下來，讓我們深入理解一下導數的概念。在求導過程中，我們使用的是基本求導公式，即給出自變量增量，得出函數增量，然后作商，最后求極限。這就是求導四則運算法則與性質。例如，如果函數都可導，那么加減乘都可以推廣到n個函數的情況。數乘性作為乘法法則的特例，若為常數c，則說明常數可任意進出導數符號。

在了解這些基礎知識后，我們來看一下dy的定義。設函數f(x)在x0的某個鄰域內有定義，當自變量在x0處取得增量Δx時，如果相應的函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可以表示為Δy=AΔx+o(Δx)。其中，A是與x0有關而不依賴于Δx的常數，o(Δx)是比Δx高階的無窮小量（當Δx→0時)。那么稱AΔx為函數y=f(x)在點x0相應于自變量的增量Δx的微分，記為dy。

再來詳細了解一下求導的方法。首先求函數的增量Δy，然后求平均變化率，最后取極限得到導數。另外還有一些常見函數的導數公式，例如(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx等等。

最后我們來解一個具體的例子，已知y=lntanx/2，如何求dy？每一道題的解法都有區別，需要根據具體的函數形式和步驟來求解。

第一部分：

首段：函數y等于以tan(x/2)為自變量的自然對數。

接著，對于該函數的導數dy/dx，我們開始推導。

次段：推導過程首先涉及到對tan(x/2)求導，其導數等于sec2(x/2)乘以(x/2)的導數，再除以tan(x/2)。

緊接著，經過一系列的運算和轉換，最終得出dy/dx的表達式為1/[2cos(x/2)sin(x/2)]，這也可以寫作1/sinx，即cscx。

第二部分：

再舉一例，已知y等于以x為自變量的對數的平方。我們求其導數。

通過推導，得出dy與dx的關系為(2lnx/xln1?)dx。這表明了y隨x的變化率。

第三部分：

關于函數可導性的概念解釋。當設y=f(x)為一個單變量函數，若y在x=x0處左右兩邊的導數都存在且相等時，我們稱y在x=x0處可導。簡言之，一個函數在某點可導意味著它在該點具備特定的導數性質。

一個函數若在x0處可導，那么它必然是連續的。值得注意的是，連續的函數不一定都可導，特別是那些不連續的函數，它們必然是不可導的。

第四部分：

關于函數可導的條件進行詳細闡述。一個函數的定義域為全體實數時，意味著該函數在其上的每一個點都有定義。僅因為函數在某點的左右兩側的導數存在并不足以證明該點的導數存在。只有當該點的左右導數不僅存在還相等，并且該點處函數連續時，我們才能說該點處函數是可導的。

函數的可導性與連續性有著密切的關系。理解這些概念對于掌握微積分的基礎知識至關重要。