在高等數學中，求解微分方程的通解是一個重要的課題，以下是對該主題的詳細闡述，包括通解的概念、求解方法以及具體實例。

通解是指包含任意常數的解，它能涵蓋微分方程所有可能的解，對于給定的微分方程 ( y + x = sqrt{x^2 + y} )，其通解可以通過一系列的代數和微分操作得到，對于微分方程 ( rac{dy}{dx} = rac{y}{x} + e^{rac{y}{x}} )，我們可以通過令 ( u = rac{y}{x} ) 來簡化方程，從而找到通解 ( e^{-rac{y}{x}} + ln|x| = C )。

非線性微分方程的通解通常可以表示為線性微分方程的通解加上非線性微分方程的特解，對于線性微分方程 ( y = 0 )，其特征方程 ( r^2 = 0 ) 導出通解 ( y = Ax + B )，( A ) 和 ( B ) 是任意常數。

在求解通解的過程中，通解公式 ( int e^{-p(x)} , dx ) 是一個重要的工具，這個不定積分本身就包含一個常數，因此不需要額外添加 ( +C )。

我們探討如何求解微分方程的通解和特解，對于微分方程 ( y - 3y + 2y = x e^x )，對應的齊次微分方程 ( y - 3y + 2y = 0 ) 的特征方程 ( t^2 - 3t + 2 = 0 ) 解得 ( t_1 = 1 )，( t_2 = 2 )，齊次通解為 ( y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} )，對于非齊次特解，我們設 ( y = x(ax + b)e^x )，通過代入原方程求解，可以得到特解。

微分方程的通解和特解中通常包含任意常數和特定常數，對于微分方程 ( xy = 8x^2 )，其特解是 ( y = 4x^2 )，而通解是 ( y = 4x^2 + C )，( C ) 是任意常數。

在求解微分方程的通解時，常用的方法包括變量分離法、齊次方程法、特征線法、特殊函數法和分離變量法等，對于方程 ( y'' - 3y' + 2y = x e^x )，可以通過分離變量法將其轉化為 ( y'' - 3y' = x e^x ) 和 ( 2y = 0 ) 兩個方程，分別求解。

求解微分方程的通解是一個復雜但富有挑戰性的問題，需要根據具體方程的類型和結構選擇合適的方法，通過深入理解和靈活運用各種求解技巧，我們可以成功找到微分方程的通解。