運用換元法+分部法：u=√x，dx= 2u du

∴∫ e^√x dx

= 2∫ ue^u du

= 2∫ u d(e^u)

= 2ue^u- 2∫ e^u du

= 2ue^u- 2e^u+ C

= 2(u- 1)e^u+ C

= 2(√x- 1)e^√x+ C

不定積分的意義：

如果f(x)在區間I上有原函數，即有一個函數F(x)使對任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么對任何常數顯然也有[F(x)+C]'(x)=f(x)。

即對任何常數C，函數F(x)+C也是f(x)的原函數。這說明如果f(x)有一個原函數，那么f(x)就有無限多個原函數。

如果F(x)是f(x)在區間I上的一個原函數，那么F(x)+C就是f(x)的不定積分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

令根號x=t

則x=t^2

dx=2tdt

∫e^√xdx=∫2t e^t dt

∫2t e^t dt

=∫2t de^t

=2te^t-2∫e^tdt

=2te^t-2e^t+C

=2（t-1）e^t+C

t=根號x代回

∫e^√xdx=2（√x-1）e^√x+C

擴展資料：

定積分是一個數，而不定積分是一個表達式，它們僅僅是數學上有一個計算關系。一個函數，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒有不定積分。

連續函數，一定存在定積分和不定積分；若在有限區間[a,b]上只有有限個間斷點且函數有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無窮間斷點，則原函數一定不存在，即不定積分一定不存在。

具體過程如下：

運用換元法+分部法：u=√x，dx= 2u du

∴∫ e^√x dx

= 2∫ ue^u du

= 2∫ u d(e^u)

= 2ue^u- 2∫ e^u du

= 2ue^u- 2e^u+ C

= 2(u- 1)e^u+ C

= 2(√x- 1)e^√x+ C

擴展資料：

求函數f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數，由原函數的性質可知，只要求出函數f(x)的一個原函數，再加上任意的常數C就得到函數f(x)的不定積分。

由于在一個區間上導數恒為零的函數必為常數，所以G(x)-F(x)=C’（C‘為某個常數）。

這表明G(x)與F(x)只差一個常數，當C為任意常數時，表達式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一個原函數。也就是說f(x)的全體原函數所組成的 *** 就是函數族{F(x)+C|-∞

根號下e的x次方加1的不定積分解答過程如下：

上面的過程中，運用到了換元法，把√（e^x+1）用t表示。然后運用積分，把∫√（e^x+1）dx轉換成含有t的積分，計算出來，最后把t用√（e^x+1）代替即可。

擴展資料：

求不定積分的方法：

第一類換元其實就是一種拼湊，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是關于f（x）的函數，再把f（x）看為一個整體，求出最終的結果。（用換元法說，就是把f（x）換為t，再換回來）。

分部積分，就那固定的幾種類型，無非就是三角函數乘上x，或者指數函數、對數函數乘上一個x這類的，記憶方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）變形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx這樣的公式，當然